Постройте фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислите её площадь. 1) y = x ^ 2 + 1 y = - 3x x = 1 x = 2

Чтобы построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить её площадь, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Построение графиков

1. ...: - Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0, 1). - Для $x = 1$: $y = 1^2 + 1 = 2$ - Для $x = 2$: $y = 2^2 + 1 = 5$

2. :
   • Это прямая линия с угловым коэффициентом -3, проходящая через начало координат.
   • Для $x = 1$: $y = -3 \cdot 1 = -3$
   • Для $x = 2$: $y = -3 \cdot 2 = -6$

Найдем точки пересечения кривых $y = x^2 + 1$ и $y = -3x$:

Решим уравнение:

$$x^2 + 1 = -3x$$

Перепишем его:

$$x^2 + 3x + 1 = 0$$

Используем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Теперь нам нужно определить, какие из найденных корней находятся в пределах от $x = 1$ до $x = 2$.

Корни:

$$x2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$

Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$, то:

$$x_2 \approx \frac{-3 + 2.236}{2} \approx \frac{-0.764}{2} \approx -0.382$$

Таким образом, оба корня меньше 1, и мы можем считать, что на отрезке $[1, 2]$ прямая $y = -3x$ находится ниже параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми, вычисляется по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$$

где $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = -3x$, а $a = 1$ и $b = 2$.

Теперь вычислим интеграл:

$$S = \int{1}^{2} (x^2 + 3x + 1) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int (x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x$$

Теперь подставим пределы:

$$S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x \right]_{1}^{2}$$

Подставляем $x = 2$:

$$S(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} + 2 = \frac{8}{3} + 6 + 2 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8 + 24}{3} = \frac{32}{3}$$

Подставляем $x = 1$:

$$S(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{1}{3} + \frac{15}{6} = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{1 + 15}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$

Теперь найдем площадь:

$$S = S(2) - S(1) = \frac{32}{3} - \frac{8}{3} = \frac{32 - 8}{3} = \frac{24}{3} = 8$$

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна $8$ квадратных единиц.