Представить двойной интеграл в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по х и внешним интегрированием по у, если область D задана указанными линиями. D: у=-х, 3х+у=3, у=3.

1. Дано

Область интегрирования $D$ задана следующими линиями:

1. $y = -x$
2. $3x + y = 3$
3. $y = 3$

2. Найти

Представить двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ в виде повторного интеграла двумя способами:

1. С внешним интегрированием по $x$ (т.е. $\iint_{D} f(x, y) \, dy \, dx$).
2. С внешним интегрированием по $y$ (т.е. $\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy$).

3. Решение

Для определения пределов интегрирования необходимо найти точки пересечения заданных линий и построить схематический чертеж области $D$.

Шаг 1: Нахождение вершин области $D$

Найдем точки пересечения линий:

Пересечение (1) $y = -x$ и (3) $y = 3$: Подставляем $y=3$ в первое уравнение: $3 = -x \Rightarrow x = -3$. Точка $A$: $(-3, 3)$.

Пересечение (2) $3x + y = 3$ и (3) $y = 3$: Подставляем $y=3$ во второе уравнение: $3x + 3 = 3 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $B$: $(0, 3)$.

Пересечение (1) $y = -x$ и (2) $3x + y = 3$: Заменяем $y$ вторым уравнением: $3x + (-x) = 3$ $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$. Находим $y$: $y = -x = -\frac{3}{2}$. Точка $C$: $\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

Область $D$ — это треугольник с вершинами $A(-3, 3)$, $B(0, 3)$ и $C\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

Шаг 2: Представление интеграла с внешним интегрированием по $x$ ($\iint dy \, dx$)

При внешнем интегрировании по $x$, мы "сканируем" область слева направо. Пределы для $x$ будут постоянными (от минимального $x$ до максимального $x$).

1. Пределы для $x$ (внешние): Минимальное значение $x$ равно $-3$ (точка $A$). Максимальное значение $x$ равно $\frac{3}{2}$ (точка $C$). Значит, $x$ меняется от $-3$ до $\frac{3}{2}$.

2. Пределы для $y$ (внутренние): Для фиксированного $x$, $y$ изменяется от нижней ограничивающей кривой до верхней ограничивающей кривой. *...