Представьте функцию f = xey − x2y приближенно по формуле Тейлора в окрестности точки M0(0,1), ограничившись слагаемыми, содержащими дифференциалы не выше второго порядка

Наша цель – разложить функцию

  f(x, y) = x·eʸ – x²·y

в окрестности точки M₀(0, 1) по формуле Тейлора до слагаемых, содержащих дифференциалы не выше второй степени. Это означает, что нам нужно найти приближение вида

  f(x, y) ≈ f(0, 1) + fₓ(0, 1)·Δx + f_y(0, 1)·Δy + ½[fₓₓ(0, 1)·(Δx)² + 2·fₓ_y(0, 1)·Δx·Δy + f_yy(0, 1)·(Δy)²],

где Δx = x – 0 = x и Δy = y –
1.

Ниже приводим пошаговое решение.

─────────────────────────────
Шаг 1. Вычислим значение функции в точке (0, 1):

  f(0, 1) = 0·e¹ – 0²·1 =
0.

─────────────────────────────
Шаг 2. Найдём первые частные производные:

1. Производная по x:
   
     fₓ(x, y) = ∂/∂x [x·eʸ – x²·y] = eʸ – 2x·y.
   
     В точке (0, 1):
   
       fₓ(0, 1) = e¹ – 2·0·1 = e.
   
   
2. Производная по y:
   
     f_...