Приведите пример замкнутого линейного подпространства L в C[0,1] (пространстве непрерывных функций на [0,1] с равномерной нормой) такого, что для любого элемента x из C[0,1], не принадлежащего L, не существует ближайшего элемента в L.

Рассмотрим пространство C[0,1] непрерывных функций на отрезке [0,1] с равномерной нормой.

Возьмем в качестве L подпространство функций, обращающихся в ноль в нуле:\nL = { f ∈ C[0,1] : f(0) = 0 }.

Это замкнутое линейное подпространство (проверим: если f_n → f равномерно и f_n(0) = 0, то f(0) = 0).

Пусть g ∈ C[0,1] \ L, т.е. g(0) ≠ 0. Предположим, что существует ближайший к g элемент h ∈ L.
Тогда расстояние d = inf_{f ∈ L} ||g - f|| = ||g - h||.

Заметим: для любой f ∈ L имеем (g - f)(0) = g(0) - 0 = g(0).
Значит, для любой f ∈ L выполняется ||g - f|| ≥ |g(0)|, так как равномерная норма не меньше модуля значения в точке
0.

С другой стороны, можно взять последовательность f_...