Привести пример последовательностей и , имеющих одно и то же множество значений и таких, что: (a) и сходятся, но , (b) сходится, а расходится.

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Привести пример последовательностей и , имеющих одно и то же множество значений и таких, что: (a) и сходятся, но , (b) сходится, а расходится.

Условие:

Привести пример последовательностей $\left\{x_{n}\right\}$ и $\left\{y_{n}\right\}$ , имеющих одно и то же множество значений и таких, что: (a) $\left\{x_{n}\right\}$ и $\left\{y_{n}\right\}$ сходятся, но $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ , (b) $\left\{x_{n}\right\}$ сходится, а $\left\{y_{n}\right\}$ расходится.

Решение:

Мы должны построить две пары последовательностей {xₙ} и {yₙ} с одинаковым множеством значений (то есть множество всех чисел, которые встречаются в последовательности, должно совпадать для обеих последовательностей).

Задача (a). Нужно, чтобы обе последовательности были сходящимися, но их пределы отличались. Заметим, что в сходящейся последовательности все, кроме, возможно, конечного числа членов, находятся достаточно близко к пределу. Поэтому если предел L последовательности, то все члены, отличные от L, могут встречаться лишь конечное число раз (иначе последовательность не смог...