Пусть и . Доказать, что .

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Пусть $\forall n: x_{n}>0$ и $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=x$ . Доказать, что $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=x$ .

Решение:

Для доказательства того, что $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=x$ , начнем с условия, что $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=x$ .

Обозначим $a_n = \sqrt[n]{x_n}$ . Мы хотим показать, что $\lim_{n \to \infty} a_n = x$ .
Из условия предела $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = x$ следует, что для любого $\epsilon > 0$ существует такое $N$ , что для всех $n > N$ выполняется неравенство:
$| \frac{x_{n+1}}{x_n} - x | < \epsilon.$
Это м...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое утверждение верно относительно связи между пределами последовательностей $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} $ и $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} $ при условии, что $ x_n > 0 $ для всех $ n $?

Если существует $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$ , то существует и равен ему $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$ .