Пусть функция - непрерывная и непрерывно-дифференцируемая на [0,+ ). Известно, что на отрезке [0,2] функция - линейная функция, на отрезке [2,+ ) функция - квадратичная парабола. Дополнительно известны значения функции в трех точках: Вычислить значение

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Пусть функция - непрерывная и непрерывно-дифференцируемая на [0,+ ). Известно, что на отрезке [0,2] функция - линейная функция, на отрезке [2,+ ) функция - квадратичная парабола. Дополнительно известны значения функции в трех точках: Вычислить значение

Условие:

Пусть функция $f(x)$ - непрерывная и непрерывно-дифференцируемая на [0,+ ). Известно, что на отрезке [0,2] функция $f(x)$ - линейная функция, на отрезке [2,+ ) функция $f(x)$ - квадратичная парабола. Дополнительно известны значения функции в трех точках:

f(0)=12, f(2)=52, f(4)=0

Вычислить значение функции и ее производной в двух точках: $f(1)$ и $f(3)$ .

Решение:

Определение линейной функции на отрезке [0, 2]: Поскольку функция линейная на отрезке [0, 2], она имеет вид:
$f(x) = ax + b$
Мы знаем, что:
- $f(0) = 12$ (это значит, что $b = 12$ )
- $f(2) = 52$
Подставим $x = 2$ :
$f(2) = 2a + 12 = 52$
Решим это уравнение:
$2a = 52 - 12 = 40 \implies a = 20$
Таким образом, линейная функция на отрезке [0, 2]:
$f(x) = 20x + 12$
Определение квадратичной функции на отрезке [2, +∞): Поскольку функция квадратичная на отрезке [2, +∞), она имеет вид:
$f(x) = A(x - 2)^2 + B$
Мы знаем, что:
- $f(2) = 52$
- $f(4) = 0$
Подставим $x = 2$ :
$f(2) = A(2 - 2)^2 + B = B = 52$
...