Пусть есть множество всех сумм , где и . Доказать равенства: a) ; б) .

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория множеств и логика

Пусть есть множество всех сумм , где и . Доказать равенства: a) ; б) .

Условие:

Пусть $\{x + y\}$ есть множество всех сумм $x + y$, где $x \in \{x\}$ и $y \in \{y\}$.
Доказать равенства:
a) $\inf \{x + y\} = \inf \{x\} + \inf \{y\}$;
б) $\sup \{x + y\} = \sup \{x\} + \sup \{y\}$.

Решение:

Чтобы доказать указанные равенства, начнем с определения, что такое инфимум и супремум.

Пусть $A = \{x\}$ и $B = \{y\}$ . Мы хотим показать, что: \na) $\inf \{x + y\} = \inf A + \inf B$ \nb) $\sup \{x + y\} = \sup A + \sup B$

Доказательство пункта a)

Определение инфимума: Инфимум множества $A$ — это наибольшая нижняя граница для элементов множества $A$ . Аналогично для $B$ .
Обозначим:
- $m = \inf A$
- $n = \inf B$
Покажем, что $m + n$ является нижней границей для $\{x + y\}$ :
- Для любого $x \in A$ и $y \in B$ ...