Условие:
Работа №1 посвящена исследованию состояний равновесия в осцилляторе Дуффинга. Нахождение состояний равновесия и анализ их устойчивости:
Найдите все состояния равновесия системы, приравняв правые части уравнений к нулю.
Проведите анализ устойчивости каждого состояния равновесия в зависимости от параметров
β
β и
γ
γ. Для этого используйте метод линеаризации системы в окрестности каждой точки равновесия и определите собственные значения матрицы Якоби.
Построение областей с разным типом поведения на плоскости параметров
β
−
γ
β−γ:
Нанесите на плоскость параметров
β
−
γ
β−γ линии, разделяющие области с разным типом поведения системы (например, области с устойчивыми и неустойчивыми состояниями равновесия).
Численное моделирование фазовых траекторий:
Используя программу для численного интегрирования дифференциальных уравнений (например, MATLAB, Python с библиотекой SciPy), постройте фазовые портреты системы для различных значений параметров
β
β и
γ
γ.
Исследуйте поведение системы в окрестности каждого состояния равновесия, задавая начальные условия вблизи этих точек.
Постройте притягивающие и отталкивающие многообразия для седловых точек.
Исследование консервативного осциллятора Дуффинга:
Повторите пункты 2 и 4 для случая консервативного осциллятора Дуффинга (при
α
=
0
α=0).
Сравните поведение консервативного и диссипативного осцилляторов, обращая внимание на различия в фазовых портретах и устойчивости состояний равновесия.