Рассмотрим 4-мерный гиперкуб . Его вершины — все двоичные строки длины 4 ( ); две вершины соединены ребром, если они отличаются ровно в одном разряде. Муравей стартует в вершине . На каждом шаге он равновероятно (с вероятностью для каждого варианта)

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Марковские цепи

Рассмотрим 4-мерный гиперкуб . Его вершины — все двоичные строки длины 4 ( ); две вершины соединены ребром, если они отличаются ровно в одном разряде. Муравей стартует в вершине . На каждом шаге он равновероятно (с вероятностью для каждого варианта)

Условие:

Рассмотрим 4-мерный гиперкуб $Q_4$ . Его вершины — все двоичные строки длины 4 ( $0000, 0001, \dots, 1111$ ); две вершины соединены ребром, если они отличаются ровно в одном разряде.

Муравей стартует в вершине $0000$ . На каждом шаге он равновероятно (с вероятностью $1/4$ для каждого варианта) выбирает одно из рёбер, выходящих из его вершины, и переходит по нему в соседнюю вершину. Процесс продолжается, пока муравей впервые не попадёт в вершину, противоположную стартовой, то есть в $1111$ .

Требуется найти математическое ожидание числа шагов до первого попадания в $1111$ .

Формат вывода Ответ округлите до 6 знаков после запятой, используя в качестве разделителя точку.

Решение:

Для решения задачи о муравье на 4-мерном гиперкубе, давайте обозначим математическое ожидание количества шагов до достижения вершины $1111$ как $E(x)$ , где $x$ — это состояние муравья, то есть двоичная строка, представляющая текущую вершину.

Шаг 1: Определим состояния

Вершины гиперкуба $Q_4$ можно представить как двоичные строки длины 4. Вершина $0000$ — это начальная позиция, а вершина $1111$ — это конечная позиция, которую мы хотим достичь. Вершины, соседние с $0000$ , это $0001$ , $0010$ , $0100$ и $1000$ .