1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Решить систему методом обратной матрицы:
Разбор задачи

Решить систему методом обратной матрицы:

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Решить систему методом обратной матрицы:

Условие:

Решить систему методом обратной матрицы: $ \left{

ξ1−2ξ2+2ξ3=1ξ2−ξ3=−1−ξ1+2ξ2−ξ3=−1\begin{array}{l} \xi_{1}-2 \xi_{2}+2 \xi_{3}=1 \\ \xi_{2}-\xi_{3}=-1 \\ -\xi_{1}+2 \xi_{2}-\xi_{3}=-1 \end{array}

$

Решение:

Для решения системы уравнений методом обратной матрицы, сначала запишем систему в матричном виде.

Система уравнений:

  1. ξ₁ - 2ξ₂ + 2ξ₃ = 1
  2. ξ₂ - ξ₃ = -1
  3. -ξ₁ + 2ξ₂ - ξ₃ = -1

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения Aξ = b, где A - матрица коэффициентов, ξ - вектор переменных, b - вектор свободных членов.

Матрица коэффициентов A: $ A =

(1−2201−1−12−1)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}
Векторпеременныхξ: Вектор переменных ξ:

\xi =

(ξ1ξ2ξ3)\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{pmatrix}
Векторсвободныхчленовb: Вектор свободных членов b:

b =

(1−1−1)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}
ТеперьмыможемнайтиобратнуюматрицуA−1изатемумножитьеёнавекторb,чтобынайтивекторξ.СначаланайдемопределительматрицыA:\ndet(A)=1∗(1∗(−1)−(−1)∗2)−(−2)∗(0∗(−1)−(−1)∗(−1))+2∗(−1∗1−2∗0)=1∗(−1+2)−(−2)∗(0−1)+2∗(−1)=1∗1+2+(−2)=1+2−2=1Определительнеравеннулю,значит,матрицаобратима.ТеперьнайдемобратнуюматрицуA−1.Дляэтогоиспользуемформулудляобратнойматрицы:\nA−1=(1/det(A))∗adj(A),гдеadj(A)−присоединеннаяматрица.Сначаланайдемматрицуалгебраическихдополнений(присоединеннуюматрицу):1.Дляэлементаa11=1,удаляем1−юстрокуи1−йстолбец: Теперь мы можем найти обратную матрицу A⁻¹ и затем умножить её на вектор b, чтобы найти вектор ξ. Сначала найдем определитель матрицы A:\ndet(A) = 1*(1*(-1) - (-1)*2) - (-2)*(0*(-1) - (-1)*(-1)) + 2*(-1*1 - 2*0) = 1*(-1 + 2) - (-2)*(0 - 1) + 2*(-1) = 1*1 + 2 + (-2) = 1 + 2 - 2 = 1 Определитель не равен нулю, значит, матрица обратима. Теперь найдем обратную матрицу A⁻¹. Для этого используем формулу для обратной матрицы:\nA⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A), где adj(A) - присоединенная матрица. Сначала найдем матрицу алгебраических дополнений (присоединенную матрицу): 1. Для элемента a₁₁ = 1, удаляем 1-ю строку и 1-й столбец:
∣1−12−1∣\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}

$...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой первый шаг необходимо выполнить при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я