1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Решить систему уравнений
Разбор задачи

Решить систему уравнений

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  • #Дифференциальные уравнения
Решить систему уравнений

Условие:

Решить систему уравнений $ \left{

x˙=x+3y−zy˙=−x+4yz˙=y+z\begin{array}{l} \dot{x}=x+3 y-z \\ \dot{y}=-x+4 y \\ \dot{z}=y+z \end{array}

$

Решение:

Чтобы решить систему уравнений, давайте сначала запишем её в матричной форме. Система уравнений имеет вид:

{x˙=x+3y−zy˙=−x+4yz˙=y+z \begin{cases} \dot{x} = x + 3y - z \\ \dot{y} = -x + 4y \\ \dot{z} = y + z \end{cases}

Мы можем записать это в виде матричного уравнения:

X˙=AX \dot{\mathbf{X}} = A \mathbf{X}

где (\mathbf{X} =

(xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
A=(13−1−140011) A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Теперь нам нужно найти собственные значения и собственные векторы матрицы (A). Мы знаем, что собственные значения (\lambda_{1,2,3} = 2).

Шаг 1: Найдем собственные векторы

Для нахождения собственных векторов нам нужно решить уравнение:

(A−λI)v=0 (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0

где (I) — единичная матрица, а (\lambda) — собственное значение.

Подставим (\lambda = 2):

A−2I=(1−23−1−14−20011−2)=(−13−1−12001−1) A - 2I = \begin{pmatrix} 1-2 & 3 & -1 \\ -1 & 4-2 & 0 \\ 0 & 1 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Теперь решим систему уравнений:

(−13−1−12001−1)(xyz)=(000) \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду

Применим элементарные преобразования:

  1. Умножим первую строку на -1:
(1−31−12001−1) \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
  1. Прибавим первую строку ко второй:
(1−310−1101−1) \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
  1. Прибавим вторую строку к третьей:
(1−310−11000) \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Шаг 3: Получаем систему уравнений

Теперь у нас есть система:

{\nx−3y+z=0−y+z=0 \begin{cases}\nx - 3y + z = 0 \\ -y + z = 0 \end{cases}

Из второго уравнения получаем (z = y). Подставим это в первое уравнение:

x−3y+y=0  ⟹  x−2y=0  ⟹  x=2y x - 3y + y = 0 \implies x - 2y = 0 \implies x = 2y

Таким образом, собственные векторы имеют вид:

v=(2yyy)=y(211) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2y \\ y \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Шаг 4: Запишем общее решение

Общее решение системы будет иметь вид:

X(t)=c1e2t(211)+c2e2tv2+c3e2tv3 \mathbf{X}(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{2t} \mathbf{v_2} + c_3 e^{2t} \mathbf{v_3}

где (c_1, c_2, c_3)...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения собственных векторов матрицы A?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я