Решите уравнения. ) ; б) ; в) ; г) ; д) .

a) $x^{\log _{5} x^{2}}=5 x$

1. Применим свойства логарифмов: $\log_{5} x^{2} = 2 \log_{5} x$.
2. Подставим это в уравнение: $x^{2 \log_{5} x} = 5x$.
3. Запишем $5$ как $5 = 5^{1}$, тогда уравнение можно переписать как $x^{2 \log_{5} x} = 5^{1} x^{1}$.
4. Применим логарифм по основанию 5 к обеим частям:
   $$2 \log_{5} x \cdot \log_{5} x = 1 + \log_{5} x$$
5. Обозначим $y = \log_{5} x$, тогда уравнение становится:
   $$2y^2 - y - 1 = 0$$
6. Решим квадратное уравнение:
   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$$
   Получаем два решения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$.
7. Переведем обратно в $x$:
   • $y_1 = 1 \Rightarrow \log_{5} x = 1 \Rightarrow x = 5$
   • $y_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \log_{5} x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Ответ: $x = 5$ и $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

б) $(2 x)^{\log _{2} x}=4$

1. Запишем $4$ как $2^2$, тогда уравнение становится:
   $$(2x)^{\log_{2} x} = 2^2$$
   ...