Решите задачу Коши (3 x-1) d y+y2 d x=0, y(0)=1 : В ответе укажите значение y(2 / 3).

Для решения задачи Коши $(3 x-1) d y+y^{2} d x=0$ с начальным условием $y(0)=1$, начнем с приведения уравнения к стандартному виду.

1. Перепишем уравнение:

   $$(3x - 1) dy + y^2 dx = 0$$
   Это можно переписать как:
   $$dy = -\frac{y^2}{3x - 1} dx$$

2. Разделим переменные:

   $$\frac{dy}{y^2} = -\frac{dx}{3x - 1}$$

3. Интегрируем обе стороны:

   • Левую сторону:
     $$\int \frac{dy}{y^2} = -\frac{1}{y} + C_1$$
   • Правую сторону:
     $$\int -\frac{dx}{3x - 1} = -\frac{1}{3} \ln |3x - 1| + C_2$$

   Объединим константы интегрирования: $ ...