Сформулировать и решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольцевом секторе , когда заданы краевые условия , . Построить графики .

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полярных координатах в области (кольцевой сектор)
  r ∈ [r₁, r₂] и φ ∈ [0, π],
при условии

  u(r₁, φ) = u(0.5, φ) = sin φ,
  u(r₂, φ) = u(1, φ) = 2 sin φ,
  u(r, 0) = 0 (при r ∈ [0.5, 1]),
  u(r, π) = 0 (при r ∈ [0.5, 1]).

Наша цель – найти функцию u(r, φ), удовлетворяющую уравнению Лапласа
  u_rr + (1/r) u_r + (1/r²) u_φφ = 0,
с заданными краевыми условиями и построить графики функций u(r, 0), u(r, π/2), u(r, π).

──────────────────────────────
Шаг 1. Метод разделения переменных

Поскольку на угловых границах φ = 0 и φ = π заданы однородные условия u(r, 0) = u(r, π) = 0, естественно искать решение в виде разложения по собственным функциям оператора по φ. Предположим, что решение имеет вид
  u(r, φ) = R(r) Φ(φ).

Подставляем это разложение в уравнение Лапласа:
  R''(r)Φ(φ) + (1/r) R'(r)Φ(φ) + (1/r²) R(r) Φ''(φ) = 0.
Разделим на R(r)Φ(φ):
  [R''(r)/R(r) + (1/r) R'(r)/R(r)] + [1/(r²)] [Φ''(φ)/Φ(φ)] = 0.
Умножив на r² получим разделение переменных:
  r² [R''(r)/R(r) + (1/r) R'(r)/R(r)] + Φ''(φ)/Φ(φ) = 0.
То есть, обе части должны равняться некоторой постоянной – обозначим её −λ (знак выбран принято для удобства):

1. Уравнение для Φ(φ):
     Φ''(φ) + λΦ(φ) = 0,
   с условиями
     Φ(0)=0, Φ(π)=0.
   
   Из классического решения получаем, что собственные значения и собственные функции для φ:
     λₙ = n²,  Φₙ(φ) = sin(nφ),  n = 1,2,3,...
   
   ──────────────────────────────
   Шаг 2. Подбор вида решения
   
   Наблюдаем, что краевые условия на радиусах для u(r, φ) заданы так, что u(0.5, φ) ∝ sin φ и u(1, φ) ∝ sin φ, а значит вклад с n = 1 (то есть Φ₁(φ) = sin φ) доминирует. Поэтому искомое решение можно искать в виде
     u(r, φ) = f(r) sin φ.
   
   Подставим в уравнение Лапласа. Заметим, что
     u_...