Условие:
Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда.
Решение:
Мы хотим доказать следующий результат.
Формулировка (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда):
Пусть для каждого n ∈ ℕ и для всех x из множества D выполнено неравенство
|uₙ(x)| ≤ Mₙ,
где {Mₙ} – последовательность положительных чисел, такая что числовой ряд ∑ₙ₌₁∞ Mₙ сходится. Тогда функциональный ряд
∑ₙ₌₁∞ uₙ(x)
сходится равномерно на D.
Ниже приведём подробное доказательство.
─────────────────────────────
Шаг 1. (Оценка по числовому ряду)
Предположим, что для каждого x ∈ D и для каждого n ∈ ℕ выполнено:
|uₙ(x)| ≤ Mₙ,
а ряд ∑ₙ₌₁∞ Mₙ сходится. Это означает, что сумма ...