Условие:
Сформулируйте необходимые и достаточные условия того, что 1-форма является дифференциалом некоторой функции. Докажите достаточное условие в звёздной области. Чем отличаются две различных первообразные данной 1 -формы в связной области?
Решение:
Рассмотрим 1‐форму ω, заданную в области U (например, в ℝ² или ℝⁿ). Задача состоит в следующем:
- Сформулировать необходимые и достаточные условия того, что ω является дифференциалом некоторой функции f, то есть ω = df.
- Доказать достаточное условие (то есть, если ω замкнута, то она является дифференциалом некоторой функции) в звёздной области U.
- Показать, чем отличаются две различные первообразные данной 1‐формы в связной области.
Ниже приведён пошаговый вывод и доказательство.
─────────────────────────────
Шаг 1. Необходимое и достаточное условие
Пусть ω – дифференцируемая 1‐форма...