Существуют , , , . Доказать, что из этого следует существование , , , , . - векторные функции, - скалярная функция.

Добавлена: 08.10.2026
Обновлена: 08.10.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Существуют , , , . Доказать, что из этого следует существование , , , , . - векторные функции, - скалярная функция.

Условие:

Существуют $\lim_{M\to M_0}(r_1(M))=a_1$, $\lim_{M\to M_0}(r_2(M))=a_2$, $\lim_{M\to M_0}(r_3(M))=a_3$, $\lim_{M\to M_0}(f(M))=\lambda$. Доказать, что из этого следует существование $\lim_{M\to M_0}(r_1(M)\pm r_2(M))=a_1\pm a_2$, $\lim_{M\to M_0}(f(M)r_1(M))=\lambda a_1$, $\lim_{M\to M_0}(r_1(M)\cdot r_2(M))=a_1\cdot a_2$, $\lim_{M\to M_0}(r_1(M)\times r_2(M))=a_1\times a_2$, $\lim_{M\to M_0}(r_1(M)r_2(M)r_3(M))=a_1 a_2 a_3$. $r_1, r_2, r_3$ - векторные функции, $f$ - скалярная функция.

Решение:

Дано:

Пусть $M_0$ — предельная точка области определения функций.

$\lim_{M \to M_0} \vec{r}_1(M) = \vec{a}_1$
$\lim_{M \to M_0} \vec{r}_2(M) = \vec{a}_2$
$\lim_{M \to M_0} \vec{r}_3(M) = \vec{a}_3$
$\lim_{M \to M_0} f(M) = \lambda$

Здесь $\vec{r}_i(M) = (x_i(M), y_i(M), z_i(M))$ и $\vec{a}_i = (a_{ix}, a_{iy}, a_{iz})$ .

Решение:

Основная идея заключается в том, что предел векторной функции существует тогда и только тогда, когда существуют пределы каждой из её скалярных компонент.