В Евклидовом пространстве скалярное произведение задано своей матрицей Грама в базисе : В базисе заданы координаты векторов и . Найти угол между векторами и , если

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

В Евклидовом пространстве скалярное произведение задано своей матрицей Грама в базисе : В базисе заданы координаты векторов и . Найти угол между векторами и , если

Условие:

В Евклидовом пространстве $\mathbb{E}^{4}$ скалярное произведение задано своей матрицей Грама $G$ в базисе $\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{4}$ : $ G=\left(

\begin{array}{cccc} 24 & 36 & 30 & -2 \\ 36 & 55 & 46 & -2 \\ 30 & 46 & 39 & -2 \\ -2 & -2 & -2 & 2 \end{array}

В базисе $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}_{i=1}^{4}$ заданы координаты векторов $v_{1}$ и $v_{2}$ . Найти угол между векторами $v_{1}$ и $v_{2}$ , если $

\begin{array}{l}\nv_{1}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \\ -1 \end{array}

\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ -1 \\ 0 \end{array}

\left{

\begin{array}{l} \tilde{e}_{1}=e_{1}-4 e_{2}-2 e_{3}+2 e_{4} \\ \tilde{e}_{2}=-3 e_{2}-2 e_{3}+2 e_{4} \\ \tilde{e}_{3}=8 e_{2}+5 e_{3}-4 e_{4} \\ \tilde{e}_{4}=-10 e_{2}-6 e_{3}+5 e_{4} \end{array}

\end{array} $

Решение:

Нам дано, что в базисе {e₁,e₂,e₃,e₄} скалярное произведение определяется матрицей Грама

G = [ [24 36 30 –2],
[36 55 46 –2],
[30 46 39 –2],
[–2 –2 –2 2] ].

Координаты векторов v₁ и v₂ заданы в другом базисе {ẽ₁, ẽ₂, ẽ₃, ẽ₄}. При этом известны соотношения:
ẽ₁ = e₁ – 4e₂ – 2e₃ + 2e₄
ẽ₂ = –3e₂ – 2e₃ + 2e₄
ẽ₃ = 8e₂ + 5e₃ – 4e₄
ẽ₄ = –10e₂ – 6e₃ + 5e₄
и
v₁ = [2, –2, –2, –1]ᵀ (v₁ = 2·ẽ₁ – 2·ẽ₂ – 2·ẽ₃ – 1·ẽ₄)
v₂ = [–4, –3, –1, 0]ᵀ (v₂ = –4·ẽ₁ – 3·ẽ₂ – 1·ẽ₃ + 0·ẽ₄).
<b...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно вычисления скалярного произведения двух векторов в Евклидовом пространстве, если известна матрица Грама G в одном базисе и координаты векторов заданы в другом базисе?

Скалярное произведение векторов можно вычислить напрямую, используя их координаты в новом базисе и матрицу Грама G, без преобразования координат.

Для вычисления скалярного произведения необходимо сначала преобразовать координаты обоих векторов в базис, в котором задана матрица Грама G, а затем использовать формулу ⟨v, w⟩ = vᵀGw.

Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому можно использовать любые координаты векторов и матрицу Грама G.