В некотором базисе пространства своими координатами задана система векторов: Выяснить вопрос о линейной зависимости этой системы векторов, её ориентации и, если система линейно независима, найти объём параллелепипеда, построенного на векторах системы и

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

В некотором базисе пространства своими координатами задана система векторов: Выяснить вопрос о линейной зависимости этой системы векторов, её ориентации и, если система линейно независима, найти объём параллелепипеда, построенного на векторах системы и

Условие:

В некотором базисе $\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\}$ пространства $E^{3}$ своими координатами задана система векторов: $

\begin{array}{l} \vec{x}=\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{2}+3 \vec{e}_{3}, \\ \vec{y}=4 \vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{2}+\vec{e}_{3}, \\ \vec{z}=3 \vec{e}_{2}+5 \vec{e}_{3} . \end{array}

Выяснить вопрос о линейной зависимости этой системы векторов, её ориентации и, если система линейно независима, найти объём параллелепипеда, построенного на векторах системы и разложить вектор $\vec{u}=2 \vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}-3 \vec{e}_{3}$ по векторам системы $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ .

Решение:

Шаг 1: Дано

Имеем систему векторов в пространстве $E^3$ :

\begin{array}{l} \vec{x} = \vec{e}_{1} + 2\vec{e}_{2} + 3\vec{e}_{3}, \\ \vec{y} = 4\vec{e}_{1} + 2\vec{e}_{2} + \vec{e}_{3}, \\ \vec{z} = 0\vec{e}_{1} + 3\vec{e}_{2} + 5\vec{e}_{3}. \end{array}

Шаг 2: Найти линейную зависимость

Для проверки линейной зависимости векторов $\vec{x}$ , $\vec{y}$ и $\vec{z}$ составим матрицу, состоящую из координат этих векторов, и найдем её определитель.