В основании прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 лежит равнобедренный (𝐴𝐵= 𝐵𝐶) треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝐾 — середина ребра 𝐴1𝐵1, а точка 𝑀 делит ребро 𝐴𝐶 в отношении 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 3. а) Докажите, что 𝐾𝑀 ⊥𝐴𝐶. б) Найдите угол между прямой 𝐾𝑀 и плоскостью 𝐴𝐵𝐵1,

Для решения задачи, давайте сначала обозначим координаты точек треугольной призмы.

1. Определение координат точек:
   • Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$.
   • Точка $B$ будет $(6, 0, 0)$ (так как $AB = 6$).
   • Точка $C$ будет $(3, h, 0)$, где $h$ — высота треугольника $ABC$. Поскольку треугольник равнобедренный, $h$ можно найти из условия $AC = 8$:
     $$AC^2 = AB^2 + h^2 \implies 8^2 = 6^2 + h^2 \implies 64 = 36 + h^2 \implies h^2 = 28 \implies h = 2\sqrt{7}.$$
   • Таким образом, координаты точки $C$ будут $(3, 2\s...