В пространстве фиксирована правая декартова система координат . Даны точки . Найдите скалярное произведение двух векторов и

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

В пространстве фиксирована правая декартова система координат . Даны точки . Найдите скалярное произведение двух векторов и

Условие:

В пространстве $\mathbb{V}^{3}$ фиксирована правая декартова система координат $(O, \overrightarrow{\boldsymbol{z}}, \overrightarrow{\boldsymbol{j}}, \overrightarrow{\boldsymbol{k}})$ . Даны точки $A(6 ; 7 ;-5) B(1 ; 2 ;-2), C(8 ; 12 ;-10)$ . Найдите скалярное произведение двух векторов $\vec{d}=-4 \cdot \overrightarrow{A B}+(4) \cdot \overrightarrow{B C}+(2) \cdot \overrightarrow{C A}$ и $\vec{h}=3 \cdot \overrightarrow{A B}+(2) \cdot \overrightarrow{B C}+(-3) \cdot \overrightarrow{C A}$

Решение:

Шаг 1: Найдем векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA}$ .

Вектор $\overrightarrow{AB}$ можно найти как разность координат точки $B$ и точки $A$ :

\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 6; 2 - 7; -2 + 5) = (-5; -5; 3)

Вектор $\overrightarrow{BC}$ :

\overrightarrow{BC} = C - B = (8 - 1; 12 - 2; -10 + 2) = (7; 10; -8)

Вектор $\overrightarrow{CA}$ :

\overrightarrow{CA} = A - C = (6 - 8; 7 - 12; -5 + 10) = (-2; -5; 5)

Шаг 2: Найдем векторы $\vec{d}$ и $\vec{h}$ .

Вектор $\vec{d}$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство векторов позволяет упростить вычисление скалярного произведения двух векторов, если они выражены через линейную комбинацию других векторов?

Ассоциативность сложения векторов.

Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения векторов.

Коммутативность скалярного произведения.