Условие:
Будем искать число k, такое что точка пересечения плоскости α с ребром SD находится на расстоянии k·SD от вершины S. Пусть векторы a, b и d задают направления ребер SA, SB и SD соответственно. Так как основание – параллелограмм, можно принять координаты вершин следующим образом:
S = 0,
A = a,
B = b,
D = d,
а вершина C определяется соотношением C = A + B – D = a + b – d.
Условие задачи даёт, что плоскость α отсекает от боковых ребер следующие отрезки (считая от S):
на SA точка A′ = (1/4)a,
на SB точка B′ = (1/5)b,
на SC точка C′ = (1/6)·(a + b – d) = (1/6)a + (1/6)b – (1/6)d,
на SD точка D′ = k·d, где k надо найти.
Поскольку точки A′, B′, C′ и D′ принадлежат одной плоскости (плоскости α), то D′ должна лежать в плоскости, определяемой тремя точками A′, B′, C′. Это можно записать в виде векторного уравнения:
D′ = A′ + α (B′ – A′) + β (C′ – A′)
для некоторых чисел α и β.
Найдём разности:
1. B′ – A′ = (1/5)b – (1/4)a.
2. C′ – A′ = [(1/6)a + (1/6)b – (1/6)d] – (1/4)a = (1/6 – 1/4)a + (1/6)b – (1/6)d.
Заметим, что 1/6 – 1/4 = –1/12, значит:
C′ – A′ = –(1/12)a + (1/6)b – (1/6)d.
Запишем разложение:
k·d = (1/4)a + α [(1/5)b – (1/4)a] + β [–(1/12)a + (1/6)b – (1/6)d].
Раскроем скобки и сгруппируем по векторам a, b и d:
• Коэффициент при a:
(1/4) – (α/4) – (β/12).
• Коэффициент при b:
(α/5) + (β/6).
• Коэффициент при d:
–(β/6).
Так как левая часть имеет вид k·d, то коэффициенты при a и b должны равняться 0, а коэффициент при d — k. Получаем систему уравнений:
(1) (1/4) – (α/4) – (β/12) = 0
(2) (α/5) + (β/6) = 0
(3) –(β/6) = k ⇒ β = –6k.
Решим систему:
Из (2):
(α/5) + (–6k)/6 = 0 ⇒ (α/5) – k = 0 ⇒ α = 5k.
Подставим α и β в (1):
(1/4) – (5k/4) – (–6k/12) = 0
Заметим, что –(–6k/12) = + (6k/12) = k/2, тогда
(1/4) – (5k/4) + (k/2) = 0.
Приведём k к общему знаменателю (4):
(1 – 5k + 2k)/4 = 0
(1 – 3k)/4 = 0 ⇒ 1 – 3k = 0 ⇒ k = 1/3.
Таким образом, плоскость α отсекает ребро SD на 1/3 его длины (от S).
Ответ: 1/3.
нарисуй рисунок для этой задачи, пусть немного отражает его решение