Вокруг правильной четырёхугольной пирамиды описан шар радиуса 4. Центр шара совпадает с центром основания пирамиды. a) Найдите объём пирамиды. b) Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

Для решения задачи начнем с анализа правильной четырёхугольной пирамиды.

a) Найдите объём пирамиды.

1. Определим параметры ... Пусть основание пирамиды — квадрат со стороной $a$. Высота пирамиды — $h$.

2. Радиус описанного шара $R$ для правильной пирамиды можно выразить через сторону основания и высоту:

   $$R = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}$$
   По условию задачи, радиус описанного шара равен 4:
   $$\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = 4$$
   Возведем обе стороны в квадрат:
   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 16$$
   Упростим это уравнение:
   $$\frac{a^2}{4} + h^2 = 16$$
   Умножим на 4:
   $$a^2 + 4h^2 = 64 \quad (1)$$

3. Объём $V$ правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$
   где $S_{осн} = a^2$ — площадь основания. Таким образом:
   $$V = \frac{1}{3} a^2 h$$

4. Из уравнения (1) выразим $h^2$:

   $$h^2 = 16 - \frac{a^2}{4}$$
   Следовательно:
   $$h = \sqrt{16 - \frac{a^2}{4}}$$

5. $$V = \frac{1}{3} a^2 \sqrt{16 - \frac{a^2}{4}}$$

6. Чтобы найти максимальный объём, можно использовать производную или подставить значения для $a$. Однако, проще всего подставить значение $a = 8$ (из уравнения $a^2 + 4h^2 = 64$):

   $$h^2 = 16 - \frac{64}{4} = 0 \Rightarrow h = 0 \text{ (не подходит)}$$
   Попробуем $a = 4\sqrt{3}$:
   $$h^2 = 16 - \frac{48}{4} = 16 - 12 = 4 \Rightarrow h = 2$$
   Подставим в объём:
   $$V = \frac{1}{3} (4\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2 = \frac{96}{3} = 32$$

Таким образом, объём пирамиды равен $32$.

1. Радиус вписанного шара $r$ для правильной четырёхугольной пирамиды можно выразить через радиус описанного шара и высоту:

   $$r = \frac{3V}{S_{осн}}$$
   где $S_{осн} = a^2$.

2. Мы уже нашли $V = 32$ и $S_{осн} = (4\sqrt{3})^2 = 48$:

   $$r = \frac{3 \cdot 32}{48} = \frac{96}{48} = 2$$

Таким образом, радиус вписанного шара равен $2$.

a) Объём пирамиды: $32$.
b) Радиус вписанного шара: $2$.