Вычислить двойной интеграл распространенный на область , ограниченную осью и верхней полуокружностью .

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Вычислить двойной интеграл

\iint_{(S)} x y d x d y,

распространенный на область $S$ , ограниченную осью $O X$ и верхней полуокружностью $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ .

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Требуется вычислить двойной интеграл:

I = \iint_{(S)} x y \, dx dy

Область интегрирования

S

ограничена:

Осью $OX$ (то есть $y=0$ ).
Верхней полуокружностью $(x-2)^2 + y^2 = 1$ .

2. Найти

Значение двойного интеграла $I$ .

3. Решение

Шаг 1: Описание области интегрирования $S$

Уравнение окружности имеет вид $(x-2)^2 + y^2 = 1$ . Центр окружности находится в точке $C=(2, 0)$ , а радиус равен $R=1$ .

Поскольку область $S$ ограничена осью $OX$ ( $y=0$ ) и верхней полуокружностью, это означает, что $y \ge 0$ .

Из уравнения окружности выразим $y$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод интегрирования наиболее удобен для вычисления двойного интеграла по области, ограниченной верхней полуокружностью $(x-2)^2+y^2=1$ и осью $OX$?

Переход к полярным координатам с центром в начале координат.

Переход к полярным координатам со смещенным центром.

Прямое вычисление в декартовых координатах.