Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, формуле трапеции, формуле Симпсона, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, формуле трапеции, формуле Симпсона, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

Условие:

Вычислить интеграл $\int_{1}^{2} \frac{2}{3 x^{2}} d x$ по формуле прямоугольников, формуле трапеции, формуле Симпсона, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

Решение:

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{2} \frac{2}{3 x^{2}} d x$ с использованием различных численных методов, сначала определим функцию, которую будем интегрировать:

f(x) = \frac{2}{3 x^{2}}

Интервал интегрирования: ([1, 2]). Мы разобьем этот интервал на 10 равных частей. Длина каждого подынтервала будет равна:

h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 1}{10} = 0.1

Границы подынтервалов будут: (x_0 = 1), (x_1 = 1.1), (x_2 = 1.2), ..., (x_{10} = 2).

4. Формула прямоугольников

Используем правые прямоугольники для вычисления интеграла:

\int_{1}^{2} f(x) \, dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i)

Где (x_i = 1 + i \cdot h) для (i = 1, 2, \ldots, 10).

Теперь вычислим значения функции в точках:

\begin{align*}\nf(1.1) & = \frac{2}{3 \cdot (1.1)^2} \approx 0.1653, \\ f(1.2) & = \frac{2}{3 \cdot (1.2)^2} \approx 0.1157, \\ f(1.3) & = \frac{2}{3 \cdot (1.3)^2} \approx 0.0864, \\ f(1.4) & = \frac{2}{3 \cdot (1.4)^2} \approx 0.0612, \\ f(1.5) & = \frac{2}{3 \cdot (1.5)^2} \approx 0.0444, \\ f(1.6) & = \frac{2}{3 \cdot (1.6)^2} \approx 0.0330, \\ f(1.7) & = \frac{2}{3 \cdot (1.7)^2} \approx 0.0248, \\ f(1.8) & = \frac{2}{3 \cdot (1.8)^2} \approx 0.0185, \\ f(1.9) & = \frac{2}{3 \cdot (1.9)^2} \approx 0.0137, \\ f(2.0) & = \frac{2}{3 \cdot (2.0)^2} \approx 0.0100. \end{align*}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из перечисленных методов численного интегрирования, как правило, обеспечивает наибольшую точность при одинаковом количестве разбиений интервала?

Формула прямоугольников

Формула Симпсона

Формула трапеции

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Численное интегрирование — это приближённое вычисление определённых интегралов, когда невозможно или затруднительно найти первообразную функцию.
Формула прямоугольников (левых, правых или средних) аппроксимирует площадь под кривой суммой площадей прямоугольников. Для правых прямоугольников: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ , где $h = (b-a)/n$ .
Формула трапеций аппроксимирует площадь под кривой суммой площадей трапеций. Формула: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right)$ .
Формула Симпсона (парабол) аппроксимирует площадь под кривой с помощью параболических сегментов. Формула: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \sum_{i=1, \text{ нечетные}}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2, \text{ четные}}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \right)$ . Требует чётного числа интервалов $n$ .
Оценка погрешности численных методов интегрирования позволяет определить точность полученного приближения. Для формулы трапеций погрешность $E_T$ пропорциональна $h^2$ , для формулы Симпсона $E_S$ пропорциональна $h^4$ , что указывает на более высокую точность метода Симпсона при одинаковом $h$ .