Разбор задачи

Вычислить интеграл:

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Условие:

Вычислить интеграл:

\int_{L} \frac{\cos \frac{3}{2} \pi z d z}{(3 z+1)^{3} \cdot z}, L:\left|z+\frac{1}{3}\right|=1

Решение:

Дано

Необходимо вычислить интеграл:

\nI = \int_{L} \frac{\cos \left(\frac{3}{2} \pi z\right) d z}{(3 z+1)^{3} \cdot z}

Контур интегрирования

L

— окружность, заданная уравнением:

\left|z+\frac{1}{3}\right|=1

Найти

Значение интеграла $I$ двумя методами.

Решение

Шаг 1: Анализ подынтегральной функции и контура

Подынтегральная функция:

\nf(z) = \frac{\cos \left(\frac{3}{2} \pi z\right)}{(3 z+1)^{3} z}

Особые точки (сингулярности) находятся из условия, что знаменатель равен нулю:

(3z+1)^3 z = 0

Это дает две особые точки:

$z_1 = 0$
$3z+1 = 0 \Rightarrow z_2 = -\frac{1}{3}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод наиболее эффективен для вычисления интеграла $\int_{L} \frac{\cos \frac{3}{2} \pi z d z}{(3 z+1)^{3} \cdot z}$ по контуру $L:|z+\frac{1}{3}|=1$, учитывая наличие нескольких особых точек?

Метод интегрирования по частям, так как подынтегральная функция является произведением двух функций.

Теория вычетов, поскольку она позволяет напрямую учитывать вклады от всех особых точек внутри контура интегрирования.

Интегральные формулы Коши, применяемые последовательно к каждой особой точке после разложения на простейшие дроби.