Вычислить криволинейный интеграл ) по дуге линии ; б) по отрезку прямой от точки до точки .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Вычислить криволинейный интеграл

\int_{L}\left(x^{2}-y\right) d x+\left(y^{2}-x\right) d y

\na) по дуге линии $x=2 \cos t ; \quad y=3 \sin t ; \quad(0 \leq t \leq \pi)$ ; б) по отрезку прямой $4 x-3 y=0$ от точки $A(0 ; 0)$ до точки $B(3 ; 4)$ .

Решение:

Мы имеем задачу вычислить криволинейный интеграл

I = ∫ₗ (x² – y) dx + (y² – x) dy

по двум кривым.

Заметим, что функция под интегралом имеет вид P(x,y)dx + Q(x,y)dy, где

P(x,y) = x² – y и Q(x,y) = y² – x.

Проверим условие на точность (консервативность):
∂P/∂y = –1 и ∂Q/∂x = –1.
Так как ∂P/∂y = ∂Q/∂x, форма является точной, а значит существует потенциал f(x,y), для которого

fₓ(x,y) = x² – y и fᵧ(x,y) = y² – x.

Найдём функцию f(x,y):

Интегрируем fₓ по x:
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для подынтегрального выражения P(x,y)dx + Q(x,y)dy, чтобы криволинейный интеграл второго рода не зависел от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек?

∂P/∂x = ∂Q/∂y

∂P/∂y = ∂Q/∂x

P(x,y) = Q(x,y)