Вычислить определённые интегралы :

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Вычислить определённые интегралы : $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d x}{1+2 \cos x}$ $\int_{3}^{8} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-1} d x$

Решение:

a) Вычислить интеграл

I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + 2 \cos x}

Шаг 1: Используем симметрию функции. Функция $\cos x$ является четной, поэтому:

I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + 2 \cos x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + 2 \cos x}

Шаг 2: Применим замену переменной. Используем формулу для преобразования интеграла:

\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2} dt

При $x = 0$ , $t = 0$ ; при $x = \frac{\pi}{2}$ , $t \to 1$ . Подставляем в интеграл:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод замены переменной является наиболее подходящим для вычисления интеграла вида $ \int \frac{dx}{a + b \cos x} $ на симметричном интервале $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $?

Замена $t = \sin x$

Универсальная тригонометрическая подстановка $t = \tan(\frac{x}{2})$