Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

Добавлена: 05.06.2026
Обновлена: 05.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Условие:

Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

\int_{0}^{\sqrt{7 / 3}} x^{3} \sqrt{7+x^{2}} d x .

Решение:

Для решения определенного интеграла:

I = \int_{0}^{\sqrt{7/3}} x^3 \sqrt{7+x^2} \, dx

воспользуемся методом замены переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $t = 7 + x^2$ . Тогда:

Выразим $x^2$ : $x^2 = t - 7$ .
Найдем дифференциал $dt$ : $dt = 2x \, dx$ , откуда $x \, dx = \frac{1}{2} dt$ .
Определим новые пределы интегрирования:
- Если $x = 0$ , то $t = 7 + 0^2 = 7$ .
- Если $x = \sqrt{7/3}$ , то $t = 7 + \frac{7}{3} = \frac{21+7}{3} = \frac{28}{3}$ .

Шаг 2: Преобразование интеграла

Подставим полученные значения в интеграл:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод интегрирования наиболее целесообразно применить для вычисления определённого интеграла $\int_{0}^{\sqrt{7 / 3}} x^{3} \sqrt{7+x^{2}} d x$?

Интегрирование по частям

Метод замены переменной

Разложение на простейшие дроби