Вычислить поток векторного поля через положительно ориентированную замкнутую поверхность . , где .

Для вычисления потока векторного поля $\vec{F}$ через замкнутую поверхность $S$ мы будем использовать теорему Гаусса (или теорему о дивергенции). Эта теорема утверждает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу по объему дивергенции этого поля.

1. Найдем дивергенцию векторного поля $\vec{F}$:

   $$\vec{F} = z^{2} \vec{i} + (xy - 1) \vec{j} - (z - y) \vec{k}$$
   Дивергенция $\nabla \cdot \vec{F}$ вычисляется по формуле:
   $$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$$
   где $F_1 = z^2$, $F_2 = xy - 1$, $F_3 = - (z - y)$.

   Вычислим частные производные:

   • $\frac{\partial F_1}{\partial x} = 0$ (так как $F_1$ не зависит от $x$),
   • $\frac{\partial F_2}{\partial y} = x$ (производная от $xy$ по $y$),
   • $\frac{\partial F_3}{\partial z} = -1$ (производная от $-z$ по $z$).

   Теперь подставим в формулу:

   $$\nabla \cdot \vec{F} = 0 + x - 1 = x - 1$$
   ...