Вычислить поверхностный интеграл первого рода: ∫∫_{G} x * sqrt(9 - x^2 - y^2) dS где G - часть поверхности z = sqrt(9 - x^2 - y^2).

Будем вычислять поверхностный интеграл

I = ∬₍G₎ x·√(9 – x² – y²) dS,

где поверхность G задаётся уравнением
  z = √(9 – x² – y²).

Наша цель — показать пошаговое решение.

──────────────────────────────

1. Вычисление dS для поверхности z = f(x,y)

Для поверхности, заданной функцией z = f(x,y), элемент площади имеет вид

dS = √[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dA.

Находим производные:

z = √(9 – x² – y²)
  ∂z/∂x = d/dx √(9 – x² – y²) = –x/√(9 – x² – y²),
  ∂z/∂y = –y/√(9 – x² – y²). ...