Задача 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода. 6. do/1+2z; S: z= 1/2(x²+y²) (0≤z≤1)

Для вычисления поверхностного интеграла первого рода $\iint_S f(x, y, z) \, dS$ по поверхности $S$, заданной уравнением $z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$...

Сначала найдем, при каких значениях $x$ и $y$ поверхность $S$ будет находиться в пределах $0 \leq z \leq 1$.

Уравнение $z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$ можно переписать как:

$$x^2 + y^2 = 2z$$

При $z = 1$:

$$x^2 + y^2 = 2 \cdot 1 = 2$$

Таким образом, область интегрирования в плоскости $xy$ будет кругом радиуса $\sqrt{2}$.

Параметризуем поверхность $S$ с помощью полярных координат:

$$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = \frac{1}{2} r^2$$

где $0 \leq r \leq \sqrt{2}$ и $0 \leq \theta 2\pi$.

Элемент площади $dS$ на поверхности можно найти с помощью формулы:

$$dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy$$

Сначала найдем частные производные:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = y$$

Тогда:

$$dS = \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dx \, dy$$

В полярных координатах $x^2 + y^2 = r^2$, следовательно:

$$dS = \sqrt{1 + r^2} \, dx \, dy$$

Преобразуем $dx \, dy$ в полярные координаты:

$$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$$

Таким образом, элемент площади будет:

$$dS = \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr \, d\theta$$

Теперь подставим в интеграл:

$$\iint0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \frac{6}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2} r^2} \cdot \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr \, d\theta$$

Упрощаем выражение:

$$\frac{6}{1 + r^2}$$

Теперь интеграл принимает вид:

$$\int0^{\sqrt{2}} \frac{6}{1 + r^2} \cdot \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr$$

Сначала вычислим интеграл по $r$:

$$\int_0^{\sqrt{2}} \frac{6r \sqrt{1 + r^2}}{1 + r^2} \, dr$$

Сделаем замену $u = 1 + r^2$, тогда $du = 2r \, dr$ или $dr = \frac{du}{2r}$. При $r = 0$, $u = 1$, при $r = \sqrt{2}$, $u = 3$.

Интеграл становится:

$$\int1^3 u^{-1/2} \, du$$

Вычисляем:

$$3 \left[ 2\sqrt{u} \right]_1^3 = 3 \cdot 2 (\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{3} - 1)$$

Теперь интеграл по $\theta$:

$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$

Теперь перемножим результаты:

$$\text{Итог} = 2\pi \cdot 6(\sqrt{3} - 1) = 12\pi(\sqrt{3} - 1)$$

Таким образом, ответ:

$$\boxed{12\pi(\sqrt{3} - 1)}$$