Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя:

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя:

\frac{1}{\pi} \lim _{x \rightarrow 1}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} \ln x\right)^{-1}

Решение:

Шаг 1: Дано

Нам нужно вычислить предел функции:

\frac{1}{\pi} \lim_{x \rightarrow 1} \left(\tan \frac{\pi x}{2} \ln x\right)^{-1}

Шаг 2: Найти

Сначала упростим предел. Мы можем переписать его как:

\frac{1}{\pi} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\tan \frac{\pi x}{2} \ln x}

Теперь нам нужно найти предел:

\lim_{x \rightarrow 1} \tan \frac{\pi x}{2} \ln x

Шаг 3: Применение предела

При подстановке $x = 1$ получаем:

$\tan \frac{\pi \cdot 1}{2} = \tan \frac{\pi}{2}$ , что стремится к $\infty$
$\ln 1 = 0$

Таким образом, мы имеем неопределенность вида $\infty \cdot 0$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При использовании правила Лопиталя для вычисления предела функции вида $\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ в случае неопределенности $0 \cdot \infty$, как следует преобразовать выражение, чтобы применить правило?

Преобразовать в $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{1/g(x)}$ или $\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{1/f(x)}$ для получения неопределенности $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ .