Вычислить пределы: ) ; б) .

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Вычислить пределы:\na) $\lim _{x \rightarrow+0}(\sin x)^{\sqrt{x}}$ ; б) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)$ .

Решение:

а) $\lim _{x \rightarrow+0}(\sin x)^{\sqrt{x}}$

Начнем с того, что при $x \rightarrow 0$ , $\sin x$ приближается к $x$ . Таким образом, можно записать: $\sin x \approx x$ .
Подставим это в предел: $\lim _{x \rightarrow+0}(\sin x)^{\sqrt{x}} \approx \lim _{x \rightarrow+0} x^{\sqrt{x}}$ .
Теперь рассмотрим $x^{\sqrt{x}}$ : $x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} \ln x}$ .
Теперь найдем предел $\sqrt{x} \ln x$ при $x \rightarrow 0$ :
- Заметим, что $\ln x$ стремится к $-\infty$ , а $\sqrt{x}$ стремится к $0$ .
- Чтобы проанализиро...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для вычисления предела вида $ \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} $, если при подстановке $ x=a $ получается неопределенность вида $ 0^0 $, $ \infty^0 $ или $ 1^\infty $?

Метод замены переменной на полярные координаты.

Использование логарифмирования и преобразование к виду $e^{\lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)}$ .