Вычислить значение многочлена : ) ; б)

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Вычислить значение многочлена $f(A)$ :\na) $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1, A=\left(

\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 1\end{array}

б) $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2, A=\left(

\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2\end{array}

Решение:

Нам нужно вычислить значение многочлена f(A) для заданной матрицы A, то есть подставить матрицу A вместо переменной x в многочлен.

Рассмотрим часть (а).

Часть (а)
Дан многочлен f(x) = x³ – 2x² + 1 и матрица A =
[2 1 0]
[0 2 0]
[1 1 1].

Наша цель: найти f(A) = A³ – 2A² + I, где I – единичная матрица 3×3.

Найдём A² = A·A.
Обозначим строки A: первая [2, 1, 0], вторая [0, 2, 0], третья [1, 1, 1].
Вычисляем по элементам:
- Первый ряд:
• (1,1): 2·2 + 1·0 + 0·1 =
4.
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении значения многочлена от матрицы $ f(A) $, почему свободный член многочлена, например, "+1" в $ f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1 $, заменяется на единичную матрицу, умноженную на этот член, то есть "+1I"?

Потому что матрица $A$ является скаляром, а не матрицей, и для сохранения размерности необходимо использовать единичную матрицу.

Потому что сложение и вычитание определены только для матриц одинаковых размерностей, и скаляр не может быть напрямую добавлен к матрице.

Потому что это упрощает вычисления и не влияет на конечный результат, так как единичная матрица является нейтральным элементом при умножении.