Вычислите интеграл , где направленный отрезок прямой, идущий из точки , в точку .

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Вычислите интеграл , где направленный отрезок прямой, идущий из точки , в точку .

Условие:

Вычислите интеграл $\int_{L} f(z) d z$ , где

f(z)=(-1+2 i) \cdot z^{2} \operatorname{Im} z

$L$ - направленный отрезок прямой, идущий из точки $z_{1}=6+8 i$ , в точку $z_{2}=10+18 i$ .

Решение:

Найдем интеграл

I = ∫ₗ f(z) dz, где f(z) = (–1+2i)·z²·Im z

при условии, что контур L – отрезок прямой, проходящий от z₁ = 6+8i до z₂ = 10+18i.

Мы будем действовать по следующим шагам.

──────────────────────────────
Шаг 1. Параметризация отрезка

Запишем параметризацию отрезка (с параметром t от 0 до 1):
z(t) = z₁ + t·(z₂ – z₁).

Зная z₁ = 6+8i, z₂ = 10+18i, получаем
z₂ – z₁ = (10–6) + i(18–8) = 4+10i,
z(t) = (6 + 4t) + i (8+10t).

Также дифференциал:
dz/dt = 4+10i ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих шагов является ключевым для вычисления интеграла по контуру $L$ функции $f(z)$ в комплексной плоскости, когда $L$ является отрезком прямой?

Вычисление первообразной функции $f(z)$ и применение формулы Ньютона-Лейбница.

Параметризация контура $L$ и преобразование интеграла по контуру в определённый интеграл по вещественной переменной.

Использование вычетов функции $f(z)$ в особых точках внутри контура $L$ .