Вычислите интеграл , перейдя к полярным координатам

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислите интеграл , перейдя к полярным координатам

Условие:

Вычислите интеграл $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \int_{0}^{\sqrt{3-x^{2}}} \frac{d y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}$ , перейдя к полярным координатам

Решение:

1. Дано

Нам дан двойной интеграл:

I = \int_{-\sqrt{3}}^{0} \int_{0}^{\sqrt{3-x^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} dy dx

2. Найти

Необходимо вычислить значение интеграла $I$ с помощью перехода к полярным координатам.

3. Решение

Шаг 1: Определение области интегрирования $D$

Область интегрирования $D$ задана следующими неравенствами:

-\sqrt{3} \le x \le 0

0 \le y \le \sqrt{3-x^{2}}

Второе неравенство, $y \le \sqrt{3-x^{2}}$ , эквивалентно $y^2 \le 3 - x^2$ , или $x^2 + y^2 \le 3$ , при условии $y \ge 0$ . Таким образом, область $D$ — это часть круга радиуса $R = \sqrt{3}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При переходе к полярным координатам для вычисления двойного интеграла, какая область интегрирования в декартовых координатах соответствует пределам изменения угла $\varphi$ от $\pi/2$ до $\pi$?

Первая четверть координатной плоскости ( $x \ge 0, y \ge 0$ )