Задана функция двух переменных и точка . Задан вектор в плоскости х,у. Найти: ) значение функции в точке М0 б) частные производные первого и второго порядков функции в общем виде и в точке М0 в) дифференциал первого порядка в точке М0 г)дифференциал

Добавлена: 23.05.2026
Обновлена: 23.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Задана функция двух переменных

z=\operatorname{ctg}(y / x) .

и точка $\mathrm{M} 0(1 ; \pi / 4)$ . Задан вектор $L=3 i+4 j$ в плоскости х,у. Найти:\na) значение функции в точке М0 б) частные производные первого и второго порядков функции в общем виде и в точке М0 в) дифференциал первого порядка в точке М0 г)дифференциал второго порядка в точке М0 д) градиент в точке М0 е) производную по направлению $L$ в точке М0 ж) написать уравнение плоскости в пространстве ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ ), касающейся поверхности графика функции в точке М0 3) написать уравнение прямой в пространстве ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ ), содержащей нормаль к поверхности графика функции и проходящей через точку М0.

Решение:

Дано:

Функция двух переменных:

z = f(x, y) = \operatorname{ctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Точка:

M_0(x_0, y_0) = \left(1, \frac{\pi}{4}\right)

. Вектор направления в плоскости

xy

\vec{L} = 3\vec{i} + 4\vec{j}

Найти:\na) Значение функции $z_0$ в точке $M_0$ .

б) Частные производные первого и второго порядков (общий вид и в $M_0$ ). в) Дифференциал первого порядка $dz$ в точке $M_0$ . г) Дифференциал второго порядка $d^2z$ в точке $M_0$ . д) Градиент $\operatorname{grad} z$ в точке $M_0$ . е) Производную по направлению $\frac{\partial z}{\partial L}$ в точке $M_0$ . ж) Уравнение касате...