Consider , where , and define and . What is ?

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Consider , where , and define and . What is ?

Условие:

Consider $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ , where $f(x)=2 x(1-x)$ , and define

f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)

\nwhere

n \geqslant 1

and

f_{0}(x)=x

. What is

\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=

Решение:

Рассмотрим функцию f, заданную на отрезке [0,1] формулой
f(x) = 2·x·(1 – x).
Определим последовательность итераций:
f₀(x) = x,
fₙ(x) = f(fₙ₋₁(x)) для n ≥

Шаг 1. Сделаем замену переменной. Любое число x из [0,1] можно записать в виде
x = sin²θ, где θ ∈ [0, π/2].
Покажем, что при такой записи функция f принимает вид
f(x) = 2 sin²θ (1 – sin²θ) = 2 sin²θ cos²θ = sin²(2θ).

Шаг 2. Таким образом, если записать x = sin²θ, то получается, что
fₙ(x) = sin²(2ⁿ·θ).
Заметим, что пове...