Дан четырёхугольник ABCD. Все его стороны поделили на 3 равные части и соединили отрезками противоположные стороны. Надо геометрией масс доказать, что площадь центрального четырёхугольника равна 1/9 площади четырёхугольника ABCD.

Будем рассматривать четырёхугольник ABCD с произвольной формой (но выпуклый) и покажем, что если на каждой стороне взять точки, которые делят её на три равные части, и соединить соответствующие точки на противоположных сторонах, то фигура, образованная пересечениями полученных отрезков, имеет площадь, равную 1/9 от площади всего ABCD.

Чтобы доказать это с помощью «геометрии масс», проведём рассуждение по шагам.

1. Пусть на стороне AB точки E и F таковы, что AE = EF = FB. Аналогично на сторонах BC (точки G и H), CD (точки I и J) и DA (точки K и L). Отметим, что кажд...