Длины базисных векторов и общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно и 1 , а угол между ними равен . Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты и .

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Длины базисных векторов и общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно и 1 , а угол между ними равен . Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты и .

Условие:

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно $\sqrt{2}$ и 1 , а угол между ними равен $45^{\circ}$ . Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(2,2)$ и $(-1,4)$ .

Решение:

Рассмотрим базис с векторами e₁ и e₂, для которых |e₁| = √2, |e₂| = 1, а угол между ними равен 45°. Тогда скалярное произведение базисных векторов равно
<e₁, e₂> = |e₁|·|e₂|·cos 45° = √2·1·(√2/2) =
1.

Пусть вектора, определяющие стороны параллелограмма, заданы координатами относительно этого базиса:
v = 2e₁ + 2e₂ и w = –1e₁ + 4e₂.

Вычисляем длины векторов v и w. Если вектор имеет координаты (x, y), его квадрат длины равен
|x e₁ + y e₂|² = x²<e₁, e₁> + y²<e₂, e₂> + 2xy<e₁, e₂> = 2x² + y² + 2xy.
<br...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как определяется квадрат длины вектора $ \mathbf{v} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 $ в косоугольном базисе, если известны длины базисных векторов $ |\mathbf{e}_1| $, $ |\mathbf{e}_2| $ и угол $ \theta $ между ними?