Условие:
1. Докажите, что угол $A$ треугольника $A B C$ является острым в том и только том случае, если длина медианы $A M$ больше, чем $\frac{B C}{2}$.
Решение:
Пусть в треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, то есть AM – медиана, проведённая из вершины A. Напомним, что длина медианы определяется формулой:
AM² = (1/2)·(AB² + AC²) – (1/4)·BC².
Наша цель – показать, что угол A острый ⇔ AM (BC)/2.
- Предположим, что AM (BC)/2. Тогда, возводя неравенство в квадрат (учитывая, что все длины положительные), получаем AM² (BC)²/4.
Подставим формулу медианы:
(1/2)(AB² + AC...