Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .

Давайте обозначим радиусы окружностей, центры которых находятся в точках $P$ и $Q$, как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Обозначим расстояние между центрами окружностей $P$ и $Q$ как $d$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ - точки касания внутренней общей касательной $\kappa$ с окружностями. Поскольку касательная касается окружностей, то отрезки $PO_1$ и $QO_2$ перпендикулярны касательной $\kappa$.

Обозначим расстояние от точки $P$ до точки касания $O_1$ как $R_1$ и расстояние от точки $Q$ до точки касания $O_2$ как $R_2$. Поскольку ...