Разбор задачи

При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?

Условие:

При каких значениях $B$ и $D$ прямая

\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-4}{7}

лежит в плоскости $4 x+B y-2 z+D=0$ ?

Чтобы определить, при каких значениях $B$ и $D$ прямая лежит в плоскости, сначала найдем уравнение прямой в параметрической форме.

Прямая задана уравнением:

\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-4}{7}

Обозначим общий параметр

t

x - 1 = 5t \quad \Rightarrow \quad x = 5t + 1

y + 2 = 3t \quad \Rightarrow \quad y = 3t - 2

z - 4 = 7t \quad \Rightarrow \quad z = 7t + 4

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для того, чтобы прямая лежала в плоскости?

Направляющий вектор прямой должен быть ортогонален нормальному вектору плоскости, и любая точка прямой должна принадлежать плоскости.

Направляющий вектор прямой должен быть коллинеарен нормальному вектору плоскости.

Любая точка прямой должна принадлежать плоскости, а направляющий вектор прямой должен быть равен нормальному вектору плоскости.