Проекции катетов прямоугольного треугольника на некоторую прямую равны 4 и 5. Какова при этом условии: наименьшая возможная площадь этого треугольника; площадь этого треугольника, если его гипотенуза равна √145?

Добавлена: 24.05.2026
Обновлена: 24.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Методы геометрических построений

Условие:

Проекции катетов прямоугольного треугольника на некоторую прямую равны 4 и 5.
Какова при этом условии:
наименьшая возможная площадь этого треугольника;
площадь этого треугольника, если его гипотенуза равна √145?

Решение:

Дано

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты $a$ и $b$ , и гипотенузу $c$ . Пусть прямая, на которую проецируются катеты, образует с катетами углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Проекции катетов на эту прямую равны $p_a = 4$ и $p_b = 5$ .

По определению проекции:

p_a = a |\cos \alpha| = 4

p_b = b |\cos \beta| = 5

Так как треугольник прямоугольный, угол между катетами равен $90^\circ$ . Если $\theta$ — угол между гипотенузой и одной из прямых, то углы, которые катеты образуют с этой прямой, связаны с углами самого треугольника.

Пусть $\gamma$ — угол между гипотенузой $c$ ...