Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

x=3 t+1, \quad y=2 t+3, \quad z=-t-2

параллельно прямой

\left\{ \begin{array}{l} 2 x+y+z-3=0 \\ x+2 y-z-5=0 \end{array}\right.

Решение:

Найдем направление заданной прямой. Прямая задана параметрически:
$x = 3t + 1, \quad y = 2t + 3, \quad z = -t - 2.$
Из этого уравнения видно, что направление прямой задается вектором: $ \mathbf{d_1} =

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

2. **Найдем направление прямой, заданной системой уравнений.** Для этого преобразуем систему уравнений в векторную форму. Сначала найдем нормальные векторы к плоскостям, заданным уравнениями: - Для первого уравнения \(2x + y + z - 3 = 0\) нормальный вектор:

 \mathbf{n_1} =

\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Для второго уравнения (x + 2y - z - 5 = 0) нормальный вектор: $ \mathbf{n_2} =

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

 $...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство нормального вектора плоскости используется для определения его направления, если плоскость проходит через заданную прямую и параллельна другой прямой?

Нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой, через которую она проходит, и параллелен направляющему вектору прямой, которой она параллельна.

Нормальный вектор плоскости параллелен направляющему вектору прямой, через которую она проходит, и перпендикулярен направляющему вектору прямой, которой она параллельна.

Нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой, через которую она проходит, и перпендикулярен направляющему вектору прямой, которой она параллельна.