В кубе 𝑆𝑇𝑀𝑃𝑆1𝑇1𝑀1𝑃1 с ребром 2√3 проведены через вершины 𝑇, 𝑃 и 𝑀1 секущая плоскость 𝛼 и диагональ 𝑆1𝑀, пересекающая плоскость 𝛼 в точке 𝐾.

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем, что нам дано.

1. Куб: У нас есть куб $STMP S1 T1 M1 P1$ с длиной ребра $2\sqrt{3}$.
2. Вершины: Вершины куба можно обозначить следующим образом:
   • $S(0, 0, 0)$
   • $T(2\sqrt{3}, 0, 0)$
   • $M(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0)$
   • $P(0, 2\s...

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки $T(2\sqrt{3}, 0, 0)$, $P(0, 2\sqrt{3}, 0)$ и $M_1(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$, мы можем использовать векторное произведение.

1. :

   • $\vec{TP} = P - T = (0 - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0)$
   • \vec{TM1 - T = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (0, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})

2. :

   $$\vec{n} = \vec{TP} \times \vec{TM_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} \hat{j} \hat{k} \\ -2\sqrt{3} 2\sqrt{3} 0 \\ 0 2\sqrt{3} 2\sqrt{3} \end{vmatrix}$$
   Вычисляем определитель:
   $$\vec{n} = \hat{i} (2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 0) - \hat{j} (-2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 0) + \hat{k} (0 - 0)$$
   $$= \hat{i} (12) + \hat{j} (12) + \hat{k} (0) = (12, 12, 0)$$

3. : Уравнение плоскости можно записать в виде:

   $$12(x - 2\sqrt{3}) + 12(y - 0) + 0(z - 0) = 0$$
   Упрощаем:
   $$x + y = 2\sqrt{3}$$

Теперь найдем уравнение диагонали $S_1M$.

1. :

   • $S_1(0, 0, 2\sqrt{3})$
   • $M(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0)$

2. : Пусть $t$ — параметр, тогда:

   $$x = 0 + t(2\sqrt{3} - 0) = 2\sqrt{3}t$$
   $$y = 0 + t(2\sqrt{3} - 0) = 2\sqrt{3}t$$
   $$z = 2\sqrt{3} + t(0 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(1 - t)$$

Подставим параметры $x$ и $y$ в уравнение плоскости $x + y = 2\sqrt{3}$:

$$2\sqrt{3}t + 2\sqrt{3}t = 2\sqrt{3}$$

$$4\sqrt{3}t = 2\sqrt{3} \implies t = \frac{1}{2}$$

Теперь подставим $t$ в уравнения для $x$, $y$ и $z$:

$$x = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$$

$$y = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$$

$$z = 2\sqrt{3}(1 - \frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$$

Таким образом, точка пересечения $K$ имеет координаты:

$$K(\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$$