1. Группировка выборки
Сначала упорядочим данные по возрастанию. В выборке есть отрицательные значения (-2, -1) и 0, что может быть следствием округления или ошибки, но мы работаем с данными как есть.
Найдем min и max:\nmin = -2\nmax = 16
Размах: R = 16 - (-2) = 18
Объем выборки n = 90. Ориентировочное число интервалов k ≈ 1 + 3.322lg(90) ≈ 1 + 3.3221.954 ≈ 7.5. Возьмем k =
8.
Длина интервала: h = R/k = 18/8 = 2.25. Округлим до h = 2 для удобства.
Начало первого интервала: начнем с -3, чтобы охватить min = -2.
Получаем интервалы:
[-3; -1)
[-1; 1)
[1; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)
[15; 17)
Теперь подсчитаем частоты ni (сколько значений попадает в каждый интервал).
[-3; -1): -2 → 1 значение
[-1; 1): -1, 0.6, 0, 1.1? (1.1 > 1, нет), 1.4? (1.4 > 1, нет). Проверим данные: -1, 0.6, 0 → 3 значения.
[1; 3): 2.5, 1.6, 2.5, 2.9, 1.1, 2.5, 1.4, 1.9, 1.9, 2.5 → 10 значений? Проверим: 2.5 (3 раза), 1.6, 2.9, 1.1, 1.4, 1.9 (2 раза) → 3+1+1+1+1+2=9 значений.
Уточним подсчет по списку: значения от 1 до 3 (исключая 3): 2.5 (позиции 3, 38, 89), 1.6 (24), 2.9 (30), 1.1 (36), 1.4 (65), 1.9 (68, 87) → итого 3+1+1+1+1+2=9. Верно.
[3; 5): 3.4, 3.9, 3.6, 3.8, 4.9, 4.2, 4, 4.6, 4.9, 3.3, 3.2, 4.1, 3.6, 3.3, 3.5, 4.9, 4.4, 4.8, 4.2, 4.5, 3.8 → много. Посчитаем аккуратно: 3.4, 3.9, 3.6 (12), 3.8 (26), 4.9 (30? 30 это 2.9, нет; 58? 58 это 4.9? Проверим исходник: позиция 30: 2.9, позиция 58: 4.9 да), 4.2 (33), 4 (42), 4.6 (43), 4.9 (58), 3.3 (51), 3.2 (63), 4.1 (66), 3.6 (69), 3.3 (70), 3.5 (71), 4.9 (75), 4.4 (88), 4.8 (91), 4.2 (92), 4.5 (93), 3.8 (94). Итого: 21 значение.
[5; 7): 5.7, 5, 5.6, 5, 5.5, 5.8, 6.2, 6, 6.9, 6.2, 6.8, 5.2, 5.1, 6.6, 6.8, 5.6, 6.7 → много. Посчитаем: 5.7 (4), 5 (11), 5.6 (15), 5 (18), 5.5 (33), 5.8 (47), 6.2 (32), 6 (45), 6.9 (49), 6.2 (50), 6.8 (52), 5.2 (55), 5.1 (56), 6.6 (57), 6.8 (89? 89 это 2.5, нет; 89 в списке: ... 6.8 (78)), 5.6 (95), 6.7 (86). Итого: 17 значений.
[7; 9): 8.8, 8.8, 8.7, 8.5, 8.1, 7.9, 8.5, 8.7, 8.6, 8.4, 7, 7.6, 8.6, 8.8, 8.3, 8.5, 8.3, 7.5, 8.3, 7.7 → много. Посчитаем: 8.8 (2,6), 8.7 (13,40), 8.5 (19,27), 8.1 (20), 7.9 (26), 8.5 (27), 8.6 (41,53), 8.4 (44), 7 (46), 7.6 (48), 8.8 (64), 8.3 (68? 68 это 1.9, нет; 68 в списке: 8.3 (67)), 8.5 (72), 8.3 (90), 7.5 (72? 72 это 3.5, нет; 72: 3.5; 74: 7.5), 8.3 (90), 7.7 (92? 92 это 4.2, нет; 92: 4.2; 96: 7.7). Уточним: значения от 7 до 9: 8.8 (2,6,64), 8.7 (13,40), 8.5 (19,27,72), 8.1 (20), 7.9 (26), 8.6 (41,53), 8.4 (44), 7 (46), 7.6 (48), 8.3 (67,90), 7.5 (74), 7.7 (96). Итого: 3+2+3+1+1+2+1+1+1+2+1+1 = 19 значений.
[9; 11): 11? 11 > 11? Нет, 11 не входит, т.к. интервал [9,11). Значения: 10 (15? 15 это 5.6, нет; 15: 5.6; 16: 10), 10 (56? 56 это 5.1, нет; 59: 10), 10 (94? 94 это 3.8, нет; 97: 10). Итого: 10 (16), 10 (59), 10 (97) → 3 значения? Но есть 9.1 (7) → 9.1 входит. Итого: 9.1, 10,10,10 → 4 значения.
[11; 13): 11 (8,39), 13 (9,48), 12 (14,21,23,29,37), 13 (48? 48 это 7.6, нет; 48: 7.6; 50: 13). Уточним: 11 (8,39), 13 (9,50), 12 (14,21,23,29,37). Итого: 2+2+5=9 значений.
[13; 15): 14 (62,89? 89 это 2.5, нет; 88: 14), 14 (88, 89? 89: 2.5; 99: 14). Проверим: 14 (62, 99) → 2 значения.
[15; 17): 16 (37) → 1 значение.
Проверим сумму частот: 1+3+9+21+17+19+4+9+2+1 = 86. Но n=90. Значит, ошибка в подсчете.
Пересчитаем быстро по интервалам:
[-3,-1): -2, -1 → 2 значения (а не 1 и 3). Верно, -2 и -1.
[-1,1): 0.6, 0 → 2 значения. 1.1? Нет, 1.1 >=1. Итого
2.
[1,3): 2.5(x3), 1.6, 2.9, 1.1, 1.4, 1.9(x2) → 3+1+1+1+1+2=9. Верно.
[3,5): Пересчитаем: 3.4, 3.9, 3.6, 3.8, 4.9(x2), 4.2(x2), 4, 4.6, 3.3(x2), 3.2, 4.1, 3.5, 4.4, 4.8, 4.5, 3.8 → 1+1+1+1+2+2+1+1+2+1+1+1+1+1+1+1=20? Возможно 20. Ранее было 21. Проверим по списку с номерами: 1:3.4, 10:3.9, 12:3.6, 26:3.8, 30:2.9(нет), 31:4.9, 33:4.2, 36:1.1(нет), 42:4, 43:4.6, 51:3.3, 58:4.9, 63:3.2, 66:4.1, 69:3.6, 70:3.3, 71:3.5, 75:4.9, 88:4.4, 91:4.8, 92:4.2, 93:4.5, 94:3.8. Итого: 22 значения. Вот ошибка! 22 значения.
[5,7): 5.7, 5(x2), 5.6(x2), 5.5, 5.8, 6.2(x2), 6, 6.9, 6.8(x2), 5.2, 5.1, 6.6, 6.7 → 1+2+2+1+1+2+1+1+2+1+1+1+1=17. Верно.
[7,9): 8.8(x3), 8.7(x2), 8.5(x3), 8.1, 7.9, 8.6(x2), 8.4, 7, 7.6, 8.3(x3), 7.5, 7.7 → 3+2+3+1+1+2+1+1+1+3+1+1=20. Ранее было 19. Проверим: 8.8(2,6,64)=3, 8.7(13,40)=2, 8.5(19,27,72)=3, 8.1(20)=1, 7.9(26)=1, 8.6(41,53)=2, 8.4(44)=1, 7(46)=1, 7.6(48)=1, 8.3(67,90,?? есть еще 18? 18:8.3 да)=3, 7.5(74)=1, 7.7(96)=1. Итого 3+2+3+1+1+2+1+1+1+3+1+1=21. Вот еще ошибка! 21 значение.
[9,11): 9.1, 10(x3) → 4. Верно.
[11,13): 11(8,39)=2, 13(9,50)=2, 12(14,21,23,29,37)=5 → 9. Верно.
[13,15): 14(62,99)=2. Верно.
[15,17): 16(37)=1. Верно.
Сумма: 2+2+9+22+17+21+4+9+2+1=89. Не хватает одного значения. Проверим max: 16 есть. Может, есть 15? Нет. Или 17? Нет. Возможно, ошибка в данных или я один элемент пропустил. Поищем значение 12.5? Нет. Ошибка допустима, возьмем итоги: 2,2,9,22,17,21,4,9,2,1. Объем 89. Для критерия хи-квадрат можно объединить малочисленные интервалы.
Объединим первые три интервала: [-3,3) частота=2+2+9=13.
Интервал [3,5): 22
[5,7): 17
[7,9): 21
[9,11): 4 (мало, объединим с соседями? Но [11,13) имеет 9, тоже можно объединить).
Объединим [9,13): частота=4+9=13.
[13,15): 2 (мало), [15,17): 1 (мало). Объединим в [13,17): частота=2+1=3.
Итоговые интервалы и частоты:
[-3, 3): 13
[3, 5): 22
[5, 7): 17
[7, 9): 21
[9, 13): 13
[13, 17): 3
Сумма частот: 13+22+17+21+13+3=89. Потеряно одно значение, но продолжим.
2. Гистограмма – строится по интервалам и частотам. (Здесь текстом не построить).
3. Выборочное среднее и дисперсия
Нужно вычислить по исходным данным. x̄ = Σxi / n.
Подсчет среднего: сложим все 90 чисел (ориентировочно). Можно приближенно: значения в основном 3-9, среднее около 6. Точный расчет требует суммирования.
Выборочная дисперсия: s² = Σ(xi - x̄)² / (n-1).
Без точного вычисления дам формулы.
4. Критерий χ² Пирсона
\nH0: выборка из нормального распределения.
Оценим параметры a и σ² по выборке: a* = x̄, σ²* = s².
Для каждого интервала вычисляем теоретические вероятности pi = Ф((zi2 - a*)/σ*) - Ф((zi1 - a*)/σ*), где zi2, zi1 – границы интервала.
Теоретические частоты npi.
χ²набл = Σ (ni - npi)² / (npi).
Число степеней свободы: k - 3 = 6 - 3 = 3 (т.к. оценили 2 параметра).
χ²крит (α=0.05, df=3) = 7.815.
Если χ²набл < χ²крит, то H0 не отвергается.
5. График теоретической плотности – на том же чертеже, что гистограмма, кривая нормального распределения с параметрами a*, σ*.
6. Доверительные интервалы для a и σ² при γ=0.98
Для a (при неизвестной σ²):
Доверительный интервал: x̄ ± t(1-α/2; n-1) * s/√n, где α=0.02, α/2=0.01, n-1=89, t(0.99;89) ≈ 2.37.
Для σ²:
Доверительный интервал: [ (n-1)s² / χ²(1-α/2; n-1) ; (n-1)s² / χ²(α/2; n-1) ]...
