Дана плотность распределения непрерывной случайной величины : 0, если < −1 f(x) = { 2, если − 1 ≤ ≤ 1 . 0, если > 1 Найти: а) константу ; б) вероятность (−3 ≤ ≤ 0,5); в) математическое ожидание случайной величины .

Для решения данной задачи, давайте разберем каждый пункт по порядку.

а) ...

Плотность вероятности $f(x)$ должна удовлетворять условию нормировки, то есть интеграл от плотности по всему пространству должен равняться 1:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$$

В нашем случае плотность задана следующим образом:

$$f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ 2, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases}$$

Теперь вычислим интеграл:

$$\int{-1}^{1} 2 \, dx$$

Вычислим этот интеграл:

$$\int_{-1}^{1} 2 \, dx = 2 \cdot (1 - (-1)) = 2 \cdot 2 = 4$$

Так как интеграл равен 4, а не 1, мы можем нормировать плотность, введя константу $k$:

$$f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ k \cdot 2, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases}$$

Теперь найдем $k$:

$$\int_{-1}^{1} k \cdot 2 \, dx = k \cdot 4 = 1 \implies k = \frac{1}{4}$$

Таким образом, нормированная плотность будет:

$$f(x) = \begin{cases} 0, x -1 \\ \frac{1}{2}, -1 \leq x \leq 1 \\ 0, x 1 \end{cases}$$

Теперь найдем вероятность:

$$P(-3 \leq X \leq 0.5) = \int_{-3}^{0.5} f(x) \, dx$$

Так как $f(x) = 0$ для $x -1$, мы можем ограничить пределы интегрирования:

$$P(-3 \leq X \leq 0.5) = \int{-1}^{0.5} \frac{1}{2} \, dx$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$\int_{-1}^{0.5} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (0.5 - (-1)) = \frac{1}{2} \cdot (0.5 + 1) = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = \frac{3}{4}$$

Таким образом, вероятность $P(-3 \leq X \leq 0.5) = \frac{3}{4}$.

Математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле:

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$

В нашем случае:

$$E(X) = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} \, dx$$

Вычислим этот интеграл:

$$E(X) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx$$

Интеграл $\int_{-1}^{1} x \, dx$ равен 0, так как функция $x$ симметрична относительно оси $y$:

$$\int_{-1}^{1} x \, dx = 0$$

Следовательно:

$$E(X) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$

а) Константа $k = \frac{1}{4}$

б) Вероятность $P(-3 \leq X \leq 0.5) = \frac{3}{4}$

в) Математическое ожидание $E(X) = 0$